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经济时间序列数据经常在取对数值或取对数值的差分之后进行分析，这样做的一个原因是许多经济时间序列呈现近似指数增长的态势，即平均而言，长期中的序列增长率每年保持在一个固定的百分比。这一点意味着，序列的对数值近似线性增长。这样做的另一个原因是，许多经济时间序列变量的标准差大约与它的水平值成正比。这也意味着，序列对数值的标准差近似于一个常数。

似然函数（ likelihood function）是抽样的联合概率分布，是未知系数的函数。未知系数的最大似然估计量（ maximum likelihood estimator，MLE）是使似然函数达到最大时所计算得到的系数值。由于最大似然估计量选择了使似然函数即联合概率分布达到最大的未知系数，故实际上最大似然估计量选择的是使n个样本数据被抽中的概率达到最大的系数值。在这个意义上，MLE是那些“最可能”生成这些数据的系数值。

✨检验弱工具变量的一个经验法则

第一阶段F统计量是指检验两阶段最小二乘法的第一阶段中工具变量Z1i，…，Zmi的系数均为零的假设的F统计量。

针对仅有单个内生解释变量的情形，如果第一阶段F统计量小于10，则表明工具变量是弱的，即TSLS估计量有偏（即使在大样本条件下）且TSLS估计量的t统计量和置信区间变得不可信。

更广义地讲，一个潜在结果（ potential outcomes）就是一个个体在潜在处理下得到的结果。这一个体的因果效应是接受处理和不接受处理的潜在结果之间的差异。一般而言，个体的因果效应可以随个体的不同而不同。例如，药物治疗的效果可能与你的年龄、是否吸烟或者其他健康状况有关。问题在于，我们无法对一个单个个体的因果效应进行度量。因为，一个个体要么接受了处理，要么没有接受处理，我们只能观测到这两个潜在结果中的某一个，而无法同时观测到两个潜在结果。

尽管一个单个个体的因果效应无法度量，但在许多应用中，我们只需要知道总体的平均果效应就已经足够。例如，在评估职业培训项目时，我们只需要权衡受训者的平均花费和受训者找到工作的平均成功次数。我们所研究的个体因果效果的总体均值被称为平均因果效应（ average causal effect）或平均处理效应（ average treatment effect）。

我们可以利用理想化的随机对照实验，来估计一个给定总体的平均因果效应。如何能够做到这一点呢？

首先假设研究对象是从我们所研究的总体中随机抽选的。因为这些研究对象是通过简单随机抽样选取，他们的潜在结果及因果效应都来自相同的分布，所以，样本因果效应的期望值就是总体的平均因果效应。紧接着，我们假设，这些研究对象被随机分配到处理组或对照组。因为个体的处理状态是随机分配的，个体的处理状态与他/她的潜在结果便是相互独立的。因此，接受处理的期望结果与没有接受处理的期望结果的差值就是因果效应的期望值。因此，当满足以下两个条件：①从总体中随机抽取样本；②将个体随机分配到处理组与对照组，则处理组与对照组的潜在结果差异的期望值就是总体的平均因果效应。正如在3.5节中所提出的，相对于不处理（Xi=0），处理（Xi=1）对Yi产生的因果效应等于条件期望之差E（Yi|Xi=1）ーE（Yi|Xi=0）...

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