考研新大纲中公2019考研数学考前冲刺5套卷数学三新大纲 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子版 mobi 在线

《中公版·2019考研数学：考前冲刺5套卷（数学三）（新大纲）》考研数学（三）试卷包含微积分、线性代数、概率论与数理统计三个科目，试卷共150分，其中微积分分值占总分的56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。试卷题型包含选择题8个，填空题6个，解答题（包括证明题）9个。

本书专为参加2019年考研数学（三）的考生量身定做，全书共包括5套考前冲刺试卷，每套试卷的题型、题量和难易程度均与大纲和真题保持一致。每道题目均包含【思路点拨】和【解析】，思路点拨指出本题的解题突破口及整体思路，题目解析详细严谨。

此外，本书附赠近15年考情分析和备考手册（pdf电子版）。考情分析指出近15年考研数学（三）每个题目的考点，并对出题规律进行了总结、对考试趋势进行了预测。备考手册不仅包含考研数学的复习安排，还包含了考研数学临场应战技巧。

2019年全国硕士研究生招生考试数学（三）考前冲刺试卷

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赠品：考研数学（三）考情分析及备考手册(PDF版)

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2019年全国硕士研究生招生考试

　　数学（三）考前冲刺试卷1

　　一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

　　（1）设f(x)=lnx(x-1)2sinx，则f(x)有（）

　　（A）1个可去间断点。

　　（B）1个可去间断点，1个无穷间断点。

　　（C）1个跳跃间断点，1个可去间断点。

　　（D）1个跳跃间断点，1个无穷间断点。

　　（2）设函数f（x）在［a，b］上连续，且0

　　（3）函数项级数∑∞n=1(3x+2)nn的收敛域为（）

　　（A）（-1，1）。（B）-13,13。（C）-1,-13。（D）-1,-13。

　　（4）方程y(4)-y-6y″=e-3x-3e-2x+x的特解形式（a，b，c，d是常数）为（）

　　（A）ae-3x+be-2x+cx+d。（B）axe-3x+be-2x+cx3+dx。

　　（C）axe-3x+bxe-2x+cx3+dx2。（D）ae-3x+bxe-2x+cx3+dx2。

　　（5）设A是n阶可逆方阵（n≥2），A*是A的伴随矩阵，则（A*）*＝（）

　　（A）An＋1A。（B）An-1A。（C）An＋2A。（D）An-2A。

　　（6）下列命题正确的是（）

　　（A）如果AB＝E，则矩阵A一定可逆，且A-1＝B。

　　（B）如果A，B是n阶可逆矩阵，则AB也可逆，且（AB）-1＝B-1A-1。

　　（C）如果A，B是n阶可逆矩阵，则A＋B也可逆，且（A＋B）-1＝B-1＋A-1。

　　（D）如果A，B是n阶不可逆矩阵，则A-B一定不可逆。

　　（7）设随机变量X与Y均服从正态分布，其中X～N(μ,9),Y～N(μ,16)，记p1=P{X≥μ+3},p2=P{X≤μ-4}，则（）

　　（A）对任意实数μ，都有p1=p2。

　　（B）无论μ取任何实数，都有p1≠p2。

　　（C）对任意实数μ，都有p1>p2。

　　（D）对任意实数μ，都有p1

　　（8）设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X是样本均值，S2是样本方差,则n(X-μ)2σ2+(n-1)S2σ2服从（）

　　（A）自由度为n-1的χ2分布。（B）自由度为n的χ2分布。

　　（C）自由度为n-1的t分布。（D）自由度为n的t分布。

　　二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。

　　（9）设y=y(x)是由cosxy=lnx+1y+x确定的隐函数，则y′(0)=。

　　（10）差分方程Δ2yt-yt=2t的通解为。

　　（11）某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1＋p2，其中p为商品的价格，且R（1）＝1，则R（p）＝。

　　（12）设区域D由直线x=0,y=0,12x+y=2围成，已知2∫40f(x)dx=12∫40xf(x)dx，则Df(x)dxdy=。

　　（13）A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ1=1，λ2=3为矩阵A的两个特征值，已知B＝6，则(A+E)-1OOB*=。

　　（14）设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～N(1,4),X2～N(2,9),X3～N(3,16)，则E［X1(X1+X2+X3)］=。

　　三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　　（15）（本题满分10分）

　　设f(x)连续，且∫x0tf(x+t)dt=2x+1x2，已知f(2)=1。求积分∫21f(x)dx的值。

　　（16）（本题满分10分）

　　计算积分D(x2+y2)dxdy，其中D是由x=y,x2+y2=4,y=-x2-2x所围成的x轴上方的封闭区域。

　　（17）（本题满分10分）

　　求内接于x2a+y2b+z2c=1（其中a,b,c>0）的长方体体积的值。

　　（18）（本题满分10分）

　　求幂级数∑∞n=0(-1)n2n+1x2n的收敛域与和函数，并求∑∞n=0(-1)n2n+1·14n的和。

　　（19）（本题满分10分）

　　设函数f(x)在［-3，3］上二阶可导，且f(x)≤32，又f2(0)+［f′(0)］2=6。证明在（-3，3）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f″(ξ)=0。（20）（本题满分11分）

　　设矩阵A=-3-22-a1a-4-23，当a为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ，并求出此时的矩阵P和相应的对角矩阵Λ。

　　（21）（本题满分11分）

　　设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+6x22+3x23-4x1x2-8x1x3-4x2x3，其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。

　　（Ⅰ）求a的值；

　　（Ⅱ）试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

　　（22）（本题满分11分）

　　设随机变量X的概率密度为f(x)=12x,0

　　（Ⅱ）Y=eX的数学期望。

　　（23）（本题满分11分）

　　设总体X的概率密度函数为f(x;α)=αxα+2,0

　　数学（三）考前冲刺试卷1参考答案及解析

　　一、选择题

　　（1）【答案】B

　　本题考查间断点的类型和判断方法。先找出函数可能的间断点，再依次计算函数在这些点的极限，利用不同间断点的定义判断。

　　【解析】由题意，x＝1和x＝0是函数的可疑间断点。

　　对于x＝0，

　　limx→0lnx(x-1)2sinx=limx→0xlnx=limx→0lnx1x=limx→01x-1x2=0,

　　因此x＝0是可去间断点；

　　对于x＝1，

　　limx→1lnx(x-1)2sinx=limx→1x-1(x-1)2sinx=limx→1sin1x-1=∞，

　　因此x＝1是无穷间断点。故本题选B。

　　（2）【答案】A

　　本题考查方程根的个数及变限积分求导。先判断F(x)=∫xa1f(t)dt+∫bxf(t)dt在区间端点处的正负及函数在区间上的单调性，然后利用函数的单调性判断根的个数。

　　【解析】设F(x)=∫xa1f(t)dt+∫bxf(t)dt，则F(x)在［a，b］上连续，且

　　F(a)=∫baf(t)dt>0，F(b)=∫ba1f(t)dt>0，

　　对F(x)求导可得

　　F′(x)=1f(x)-f(x)>0，

　　因此F(x)在（a，b）上单调递增，F(x)在（a，b）内没有实根。故本题选A。

　　（3）【答案】C

　　本题考查求函数项级数的收敛域。令y=x+23，将原级数变形化简，利用比值审敛法求关于y的级数的收敛半径，结合端点处级数的敛散性得出收敛域，后再求出原级数的收敛域。

　　【解析】∑∞n=1(3x+2)nn=∑∞n=13nx+23nn，令y=x+23，则原级数变为∑∞n=13nynn。因为

　　ρ=limn→∞an+1an=limn→∞3n+1n+1·n3n=3，

　　故R=13。又因为y=13时，∑∞n=11n发散；y=-13时，∑∞n=1(-1)nn收敛，故∑∞n=13nynn的收敛域为-13,13，即y=x+23∈-13,13，x∈-1,-13，因此-1,-13是原函数项级数的收敛域。故本题选C。

　　（4）【答案】D

　　本题考查高阶常系数非齐次微分方程的特解。先利用特征方程求出特征根，再根据e-3x,3e-2x,x的形式分别设出各自的特解形式，将特解相加即得原方程的特解形式。

　　【解析】特征方程为

　　r4-r3-6r2=r2(r-3)(r+2)=0，

　　特征根分别为r1=3,r2=-2,r3=0（重根）。对于f1(x)=e-3x，λ1=-3不是特征根，可设y*1=ae-3x；对于f2(x)=-3e-2x，λ2=-2是特征根，可设y*2=bxe-2x；对于f3(x)=x，λ3=0是双重特征根，可设y*3=x2(cx+d)。因此特解形式为ae-3x+bxe-2x+cx3+dx2。故本题选D。

　　（5）【答案】D

　　本题考查伴随矩阵的性质。主要利用公式AA*＝AE和结论A*＝An-1推导。

　　【解析】根据公式AA*＝AE，可得（A*）（A*）*＝A*E，因此（A*）*＝A*（A*）-1。又因为A*＝An-1，（A*）-1＝AA，所以

　　（A*）*＝An-1AA＝An-2A。

　　故本题选D。

　　（6）【答案】B

　　本题考查矩阵可逆的性质。只有针对方阵，才可以讨论其可逆性；两个n阶矩阵是否可逆对它们的和或差的矩阵的可逆性没有影响；两个可逆矩阵的乘积仍可逆。

　　【解析】对于选项A，没有指出A和B是否为方阵，因此不能确定A是否可逆，例如A=100010，B=100100，满足AB＝E，但显然A不可逆，A选项错误；

　　对于选项B，矩阵A，B可逆，则A≠0，B≠0，且AB＝AB≠0，因此AB可逆，且（AB）-1＝B-1A-1，B选项正确；

　　对于选项C，如果矩阵A，B可逆，但A＝-B，则A＋B＝O，零矩阵不可逆，C选项错误；

　　对于选项D，设A=100000000，B=0000-1000-1，显然A和B均不可逆，但是A-B是单位矩阵，单位矩阵可逆，D选项错误。故本题选B。

　　（7）【答案】A

　　本题考查正态分布的标准化及标准正态分布的性质。先将题中的两个正态分布标准化，再利用正态分布的性质Φ(-x)=1-Φ(x)得出结论。

　　【解析】用Φ(x)表示标准正态分布N（0，1）的分布函数，则

　　p1=PX-μ3≥1=1-PX-μ3　　p2=PX-μ4≤-1=Φ(-1)。

　　由于Φ(-1)=1-Φ(1)，因此p1=p2，即对任意实数μ，都有p1=p2。故本题选A。

　　（8）【答案】B

　　本题考查χ2分布和t分布的定义和性质。题干所需判断的随机变量是由两部分组成的，可以分开判断，利用χ2分布或t分布的性质求自由度。

　　【解析】因为总体X～N(μ,σ2)，所以(n-1)S2σ2～χ2(n-1)。

　　又因为X～Nμ,σ2n，所以n(X-μ)σ～N(0,1)，n(X-μ)2σ2～χ2(1)。

　　由于X和S2独立，由χ2分布的可加性可得n(X-μ)2σ2+(n-1)S2σ2～χ2(n)。故本题选B。

　　二、填空题

　　（9）【答案】2e

　　本题考查隐函数求导。先将x＝0代入等式求出y（0）的值，然后在等式两边同时对x求导，将x＝0和y（0）的值代入导函数，求得y′(0)的值。

　　【解析】在方程cosxy=lnx+1y+x中令x＝0，则可得1=ln1y，y=1e。在方程两边同时对x求导，得

　　-sinxy×y-xy′y2=1x+1-y′y+1，

　　将x＝0和y=1e代入上式可得0=2-ey′，解得y′(0)=2e。

　　（10）【答案】yt=C·2t+t2·2t，C为任意常数

　　本题考查非齐次差分方程的求解。非齐次差分方程的通解等于非齐次差分方程的一个特解与其对应的齐次差分方程的通解之和。

　　【解析】根据差分方程的定义

　　Δ2yt=Δ(Δyt)=Δyt+1-Δyt=yt+2-yt+1-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt，

　　则原差分方程可化为yt+2-2yt+1=2t，即yt+1-2yt=2t。

　　该一阶线性差分方程对应的齐次差分方程为yt+1-2yt=0，其特征方程为r-2＝0，特征值r＝2，通解为yt=C·2t。

　　设原差分方程特解为y*=mt·2t，解得m=12，则特解为y*=12t·2t，因此可得原差分方程的通解为yt=C·2t+t2·2t，C为任意常数。

　　（11）【答案】pe12(p2-1)

　　本题考查微积分在经济学方面的应用。根据收益弹性的定义建立微分方程，解微分方程即得收益函数。

　　【解析】根据收益弹性的定义有

　　dRdp·pR=1+p2，

　　分离变量得 dRR=1p+pdp，

　　两边积分得lnR=lnp+12p2+C，

　　将R（1）＝1代入上式，得C=-12，即lnR=lnp+12p2-12。

　　因此可得R（p）＝pe12(p2-1)。

　　（12）【答案】0

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