2019全国硕士研究生招生考试管理类专业学位联考综合能力真题分类精解-数学分册 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子版 mobi 在线

本书将自2009年以来“综合能力考试”中的数学能力测试试题按照知识点的分布进行分类讲解，分成算术、代数、几何、数据分析共4章.各章安排若干节，在各节中，依次对“问题求解”和“条件充分性判断”这两类试题进行解析，对于每道题目，先指出其考查的知识点，然后给出具体的解析过程.

本书可供准备参加管理类综合能力联考（包括工程管理硕士、工商管理硕士、公共管理硕士、会计硕士、图书情报硕士、旅游管理硕士、审计硕士）的考生备考复习时使用.

第1章算术

1.1实数及其运算

1.2比和比例

1.3值

1.4典型应用问题

第2章代数

2.1整式与分式

2.2集合与函数

2.3代数方程

2.4不等式

2.5数列

第3章几何

3.1平面图形

3.2空间几何体

3.3平面直线与圆

第4章数据分析

4.1排列与组合

4.2数据描述

4.3随机事件的概率

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第3章几何

3.1平面图形

(一) 问题求解

1. (2009,12)直角三角形ABC的斜边AB=13，直角边AC=5，把AC对折到AB上去与斜边重合，点C与点E重合，折痕为AD(如图3.1所示，边长单位为cm)，则图中阴影部分的面积为

图3.1

(A) 20cm2(B) 403cm2

(C) 383cm2(D) 14cm2(E) 12cm2答B分析本题是一平面图形问题，考查了直角三角形的性质.如图3.1所示，BC=132－52=12.设DC=x.在直角三角形BDE中，因为

DE2 BE2=BD2，且BD=12－x，DE=x，BE=13－5=8，

所以x2 64=(12－x)2，解得x=103.所以图中阴影部分的面积为

12BE×DE=12×8×103=403.

故正确选项为B.2. (2010,5)如图3.2所示，在直角三角形ABC区域内有座山，现计划从BC边上的某点D开凿一条隧道到点A，要求隧道长度短.已知AB长为5km，AC长为12km，则所开凿的隧道AD的长度约为

(A) 4.12km(B) 4.22km

(C) 4.42km(D) 4.62km(E) 4.92km答D.分析本题考查了直角三角形的性质.点D应为点A向边BC引垂线的垂足.如图3.3所示，BC=52 122=13，直角三角形ABC面积为

图3.2

图3.3

12AB×AC=12BC×AD，

所以

AD=AB×ACBC=5×1213=6013≈4.62.

图3.4

故正确选项为D.

3. (2011,9)如图3.4所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，弧AOB，BOC，COD，DOA均为半圆，则阴影部分的面积为

(A) 12(B) π2

(C) 1－π4(D) π2－1(E) 2－π2答E.分析本题是平面图形问题，考查了正方形面积与圆面积.如图3.4所示，将四个半圆面积相加，得到的是正方形面积与四片叶形区域面积之和，于是四片叶形区域面积之和为

4×π2×122－1=π2－1，

阴影部分面积(正方形面积减去四片叶形区域面积之和)为

1－π2－1=2－π2.

故正确选项为E.4. (2012,3)如图3.5所示，△ABC是直角三角形，S1,S2,S3为正方形.已知a,b,c分别是S1,S2,S3的边长，则

(A) a=b c(B) a2=b2 c2

(C) a2=2b2 2c2(D) a3=b3 c3(E) a3=2b3 2c3答A.分析本题是平面图形问题，考查了相似三角形的性质.如图3.6所示,设线段CB上的点依次为C,M1,M2,M3,B，则以M1M2为斜边的直角三角形与以M2M3为斜边的直角三角形是相似的，两三角形的对应直角边成比例，即

图3.5

图3.6

ca－b=a－cb，

整理得bc=(a－b)(a－c)=a2－ac－ab bc，所以a=b c.故正确选项为A.5. (2012,15)如图3.7所示，三个边长为1的正方形所覆盖区域(实线所围)的面积为(A) 3－2(B) 3－324

(C) 3－3(D) 3－32(E) 3－334答E.分析本题是平面图形问题，考查了正方形与三角形的面积.如图3.8所示，三个正方形面积的和等于所求区域面积加上3个小等腰三角形EAB，FBC和GAC的面积，再加上2倍的正三角形ABC的面积.

图3.7

图3.8

注意在等腰△EAB中，∠ABE=30°，所以△EAB在AB边上的高h满足h2 122=(2h)2，于是得h=36，从而△EAB的面积为12×AB×h=312.又因为△ABC是边长为1的正三角形，其面积为34，所以所求面积为

3－3×312－2×34=3－334.

故正确选项为E.6. (2013,7)如图3.9所示，在直角△ABC中，AC=4,BC=3，DE∥BC.已知梯形ECBD的面积为3，则DE的长为

图3.9

(A) 3(B) 3 1

(C) 43－4(D) 322(E) 2 1答D.分析本题是平面图形问题，考查了相似三角形的边长比与面积比.如图3.9所示，因为直角△ABC的面积为S△ABC=12×4×3=6，所以直角△ADE的面积为

S△ADE=S△ABC－S梯形ECBD=6－3=3，

从而两三角形面积之比为S△ADES△ABC=12.因为△ADE与△ABC相似，所以DEBC=22，于是DE=22BC=322.故正确选项为D.

图3.10

7. (2014,3)如图3.10所示，已知AE=3AB，BF=2BC.若△ABC的面积是2，则△AEF的面积为

(A) 14(B) 12

(C) 10(D) 8(E) 6答B.分析本题是平面图形问题，考查了三角形的面积比与边长比的关系.设△ABC的边AB上的高为h，因为BF=2BC，所以△AEF的边AE上的高为2h.又因为AE=3AB，所以△AEF的面积是△ABC面积的6倍，即△AEF的面积为12.故正确选项为B.8. (2014,5)如图3.11所示，圆A与圆B的半径均为1，则阴影部分的面积为

(A) 2π3(B) 32

(C) π3－34(D) 2π3－34(E) 2π3－32答E.分析本题是平面图形问题，考查了三角形与扇形面积.如图3.12所示，设两圆的一个交点为C，则△ABC是边长为1的等边三角形，其面积为S△ABC=34，扇形ABC的面积为S扇形ABC=π6，所以弓形BC的面积为

S弓形BC=S扇形ABC－S△ABC=π6－34，

图3.11

图3.12

所求的阴影部分面积为

2(S△ABC 2S弓形BC)=234 2π6－34=2π3－32.

故正确选项为E.

9. (2015,4)如图3.13所示，BC是半圆的直径，且BC=4，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为(A) 43π－3(B) 43π－23

(C) 23π 3(D) 23π 23(E) 2π－23答A分析本题是平面图形问题，考查了圆心角与圆周角的概念，考查了三角形与圆的面积.如图3.14所示，设圆心为O，连结OA，作OD⊥AB，垂足为D.

图3.13

图3.14

因为∠ABC=30°，而OA=OB，所以弦AB所对的圆心角为∠AOB=2π3，且

OD=12AO=1，AD=AO2－OD2=3.

因为△OAB的面积为S△AOB=2×12AD·OD=3，扇形OAB的面积为S扇形OAB=12OA2·∠AOB=4π3，所以要求的面积为

S扇形OAB－S△AOB=4π3－3.

故正确选项为A.10. (2015,8)如图3.15所示，梯形ABCD的上底与下底分别为5,7，E为AC与BD的交点，MN过点E且平行于AD.则MN=

图3.15

(A) 265(B) 112

(C) 356(D) 367(E) 407答C.分析本题是平面图形问题，考查了相似三角形性质.如图3.15所示，因为

△AME∽△ABC，△CNE∽△CDA，△BME∽△BAD，△DNE∽△DCB，

所以

MEBC=AEAC，ENAD=ECAC，MEAD=BEBD，ENBC=DEBD，

于是MEBC ENAD=AEAC ECAC=1，MEAD ENBC=BEBD DEBD=1，即

ME7 EN5=1，ME5 EN7=1.

解得ME=3512，EN=3512，所以MN=356.故正确选项为C.11. (2016,2)有一批同规格的正方形瓷砖，用它们铺满某个正方形区域时剩余180块，将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时，还需增加21块瓷砖才能铺满.该批瓷砖共有(A) 9981块(B) 10000块

(C) 10180块(D) 10201块(E) 10222块答C分析本题是平面图形问题，考查了正方形的面积.假设正方形区域的边长为x块瓷砖的长度，将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时，铺满需要增加的瓷砖数为

(x 1)2－x2=2x 1.

由题设可知2x 1=180 21，所以x=100，即正方形区域的边长为100块瓷砖的长度.铺满正方形区域需要10000块瓷砖，所以这批瓷砖共有(10000 180)块=10180块.故正确选项为C.12. (2016,8)如图3.16所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB与CD的长分别为4和8.若△ABE的面积为4，则四边形ABCD的面积为

图3.16

(A) 24(B) 30

(C) 32(D) 36(E) 40答D分析本题是平面图形问题，考查了三角形相似、三角形与梯形的面积.已知AB的长为4，△ABE的面积为4，所以△ABE的边AB上的高为2.因为△ABE与△CDE相似，AB与CD的长度比为1∶2，所以△CDE的边CD上的高为4，梯形ABCD的高为6，于是梯形ABCD的面积为12(4 8)×6=36.故正确选项为D.13. (2017,5)某种机器人可搜索到的区域是半径为1m的圆.若该机器人沿直线行走10m，则其搜索过的区域的面积(单位： m2)为(A) 10 π2(B) 10 π

(C) 20 π2(D) 20 π(E) 10π答D.分析本题是平面图形问题，考查了长方形与圆的面积.如图3.17所示，该机器人沿直线行走10m后，搜索到的区域为一个长10m、宽2m的长方形加上两个半径为1m的半圆，所求的面积为

图3.17

10×2 2×12π=20 π

故正确选项为D.14. (2017,9)如图3.18所示，在扇形AOB中，∠AOB=π4，OA=1，AC⊥OB，则阴影部分的面积为

图3.18

(A) π8－14(B) π8－18

(C) π4－12(D) π4－14(E) π4－18答A.分析本题是平面图形问题，考查了扇形与三角形的面积.因为△AOC是等腰直角三角形，且OA=1，所以

OC=AC=22，

三角形AOC面积为12(OC)2=12222=14.又因为扇形AOB的面积为12×π4×12=π8，所以阴影部分面积为π8－14.故正确选项为A.15. (2017,11)已知△ABC和△A′B′C′满足AB∶A′B′=AC∶A′C′=2∶3，∠A ∠A′=π，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为(A) 2∶3(B) 3∶5

(C) 2∶3(D) 2∶5(E) 4∶9答E.分析本题是平面图形问题，考查了三角形的面积. 如图3.19所示，延长BA至B1，使AB=AB1，则△ABC与△AB1C的面积相等，且∠A′=∠B1AC.

图3.19

又AB1∶A′B′=AC∶A′C′=2∶3，所以△AB1C与△A′B′C′相似，其面积比为232=49.因此△ABC与△A′B′C′的面积比为49.故正确选项为E.16. （2018,4）如图3.20所示，圆O是△ABC的内切圆.若△ABC的面积与周长的大小之比为1∶2，则圆O的面积为(A) π(B) 2π(C) 3π(D) 4π(E) 5π

答A.

分析本题考查了三角形的面积、周长与内切圆半径的关系.

如图3.21所示，设内切圆的半径为x，则三角形的面积为x2(AB BC CA)，而三角形的周长为AB BC CA，由题设可知，△ABC的面积与周长的大小之比为1∶2，即x2=12，所以x=1.故正确选项为A.

图3.20

图3.21

17. （2018,7）如图3.22所示，四边形A1B1C1D1是平行四边形，A2,B2,C2,D2分别是A1B1C1D1四边的中点，A3,B3,C3,D3分别是四边形A2B2C2D2四边的中点，依次下去，得到四边形序列AnBnCnDn(n=1,2,…).设AnBnCnDn的面积为Sn，且S1=12，则S1 S2 S3 …=

图3.22

(A) 16(B) 20(C) 24(D) 28(E) 30

答C.

分析本题考查了平面图形的简单性质，考查了等比数列的求和.由题设可知，平行四边形A1B1C1D1去掉的四个角上的三角形面积之和是它的面积的一半，所以平行四边形A2B2C2D2的面积是平行四边形A1B1C1D1面积的12.同理可知，平行四边形A3B3C3D3的面积是平行四边形A2B2C2D2面积的12,……，即Sn是首项为12，公比为12的等比数列，所以S1 S2 S3 …=S11－12=24.故正确选项为C.

图3.23

(二) 条件充分性判断1. (2010,25)如图3.23所示，在△ABC中，已知EF//BC，则△AEF的面积等于梯形EBCF的面积.

(1) |AG|=2|GD|.(2) |BC|=2|EF|.答B.分析本题是平面图形问题，考查了相似三角形的边长比与面积比.如果(1)成立，则|AG|=23|AD|，△AEF与△ABC是相似的，其面积之比为S△AEFS△ABC=232=49，所以△AEF的面积与梯形EBCF的面积之比为4∶5.故(1)不是充分的.如果(2)成立，则12|BC|=|EF|，△AEF与△ABC的面积之比为S△AEFS△ABC=122=12，所以△AEF的面积与梯形EBCF的面积相等.故(2)是充分的. 综上可知，正确选项为B.2.  (2011,18)如图3.24所示，等腰梯形的上底与腰均为x，下底为x 10.则x=13.

图3.24

(1) 该梯形的上底与下底之比为13∶23.(2) 该梯形的面积为216.

答D.分析本题是平面图形问题，考查了等腰梯形的性质.如果(1)成立，则xx 10=1323，解得x=13.故(1)是充分的.如果(2)成立，因为梯形的高为x2－25，所以梯形面积为

12(x x 10)x2－25=216，即(x 5)(x 5)(x－5)=216，

解得x=13.故(2)也是充分的. 综上可知，正确选项为D.3. (2011,20)已知△ABC的三条边长分别为a,b,c.则△ABC是等腰直角三角形.(1) (a－b)(c2－a2－b2)=0.(2) c=2b.答C.分析本题是平面图形问题，考查了特殊三角形的性质.如果(1)成立，则a=b或c2=a2 b2，△ABC是等腰三角形或是直角三角形.故(1)不是充分的.如果(2)成立，取△ABC为直角边是b,c的直角三角形，可知(2)也不是充分的.如果(1)与(2)同时成立，将c=2b代入(1)，得

(a－b)(b2－a2)=0，

于是(a－b)2(b a)=0，所以a=b，且c=2b.此时△ABC是直角边为a=b的等腰直角三角形.所以(1)与(2)联合起来是充分的.综上可知，正确选项为C.4. (2012,23)某户要建一个长方形的羊栏.则羊栏的面积大于500m2.(1) 羊栏的周长为120m.(2) 羊栏对角线的长不超过50m.

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解析全国硕士研究生招生考试管理类专业学位联考综合能力数学真题，洞穿重点、难点和考点。

书摘插图

前言

历年的考研真题完全反映了考研命题的指导思想、基本原则和出题趋势，是*考试中心一届又一届命题组专家们精挑细选出的极具典型性和代表性的题目.历年来，管理类专业学位联考数学部分的知识点没有太大的变化，而且各部分考查的重点、难点也比较稳定，在以往考试中会反复考查.因此，通过反复研究真题，考生可以从中发现规律，归纳出考查的重点、难点及知识点组合方式，准确把脉定位自己的薄弱环节，进一步明确复习方向.全国硕士研究生招生考试管理类专业学位联考数学部分的试卷结构自2009年以来没有变动，全卷共25道题，其中前15道题是问题求解，后10道题是条件充分性判断.书中的真题是自2009年以来的题目，每年25道题，共250道题.对于这些题目，按照知识点或者说考点分为算术、代数、几何、数据分析4章.各章安排若干节，在各节中，依次对“问题求解”和“条件充分性判断”这两类试题进行解析，对于每道题目，先指出其考查的知识点，然后给出具体的解析过程.对于纳入各节的“问题求解”题目和“条件充分性判断”题目，按照题目所考的年份的先后依次排列，并给出了在所考年份中的具体题号.数学能力测试的每道试题大多是多个知识点结合的题目，这就给题目的分类带来一定的困难：一道题目中涉及多个知识点，分到哪个知识点好些？在本书中是按照如下的两个原则来分类的：一是以知识结构中各知识点出现的先后次序为基准，按照题目中用到的后的知识点来分类；二是以知识点在试题中的重要程度或难易程度为基准，按照题目中用到的重要或难的知识点来分类.按前一种基准分类的试题占绝大部分.阅读本书时，应先自己动手做题，再将自己的结果与书中的解法相比较，从中发现自己的不足之处.我们建议考生把本书的全部试题做2~3遍，通过反复练习，把不明白的地方真正弄明白，达到看到类似的题目就能想到解题思路的地步，才可以在后的考试中做到胸有成竹.另外，还建议考生平时就要加强对解题速度的训练.作者2018年4月